Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?
Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.
Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.
Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.
Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?
Первое условие:
Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.
Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.
Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:
Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна – то минимум.
О случае f??(а) = 0 можно прочитать в Справочнике по высшей математике М.Я. Выгодского.
Что такое критическая точка функции и как её найти?
Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной: нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.
Для примера найдём экстремум параболы.
Функция y(x) = 3x2 + 2x – 50.
Производная функции: y?(x) = 6x + 2
Решаем уравнение: y?(x) = 0
6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3
В данном случае критическая точка – это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум. Чтобы его найти, подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) – 50 = 3*1/9 – 2/3 – 50 = 1/3 – 2/3 – 50 = -1/3 – 50 = -50,333.
Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?
Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.
Для рассмотренного примера:
Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1
При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак – «минус»).
Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1
При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак – «плюс»).
Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.
Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка – в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.
Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции
y(x) = 3sin(x) — 0,5х
на интервалах:
а) [-9; 9]
б) [-6; -3]
Итак, производная функции —
y?(x) = 3cos(x) — 0,5
Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0
3cos(x) = 0,5
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
х = ±arccos(0,16667) + 2πk.
Находим критические точки на интервале [-9; 9]:
х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)
х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687
х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88
х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)
Находим значения функции при критических значениях аргумента:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885
Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:
x = -4,88, у = 5,398,
а наименьшее – при х = 4,88:
x = 4,88, у = -5,398.
На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.
Находим значение функции на концах интервала:
y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077
На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции
у = 5,398 при x = -4,88
наименьшее значение —
у = 1,077 при x = -3
Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?
Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.
Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна – то книзу.
Как найти экстремумы функции двух переменных?
Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:
1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности
f(x,y) – f(a,b)
для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный – то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.
Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.
Как найти похожие изображения в Интернете | Вопрос и Ответ
Найти похожие изображения в Интернете помогут представленные ниже сервисы. Для поиска похожих фотографий на сервисах можно загрузить свою фотографию или ввести ссылку на web-страницу с фотографией:
Как найти жениха через интернет | Вопрос и Ответ
Ни для кого не секрет, что слишком много одиноких женщин. Причин тому множество. Но ведь душевной близости и тепла хочется всем. Как быть, как же найти того единственного, который согреет тебя,
Как найти друзей | Вопрос и Ответ
В век информационных технологий легче всего найти друзей в Интернете. Для этого существует много сервисов. Блоги — это личные дневники пользователей, где они пишут о своих
Как найти песню из видео (кино, ролика, клипа) | Вопрос и Ответ
audiotag.info — бесплатный сервис для распознавания музыки онлайн. Он позволяет легко узнать название композиции, имя исполнителя и другую информацию почти для любого аудио-музыкального
Как найти момент сопротивления составного сечения | Вопрос и Ответ
Зачем нужен момент инерции сечения Несмотря на то, что наука о прочности давно уже шагнула вперёд, и давно уже развиваются многие её направления (строительная механика, механика
Как найти пропавшего без вести человека в годы ВОВ по книгам памяти | Вопрос и Ответ
Книга памяти — это ценный исторический источник минувшей военной эпохи. Потомки будут обращаться к нему, когда возникнет потребность вновь прикоснуться к героическим событиям Великой
Как найти производящее слово | Вопрос и Ответ
Словообразование (основные понятия) Примечание. В данном ответе нулевое окончание обозначено символом Ο (по техническим причинам); нулевой суффикс обозначен Ø (в
Как найти бесплатные курсы для обучения работе на компьютере для начинающих пользователей | Вопрос и Ответ
Несколько ссылок на интересные сайты, видеоуроки и обучающие курсы: obuk.ru — азы работы на компьютере (обучающий курс); neumeka.ru — компьютерные курсы
Как найти углы в прямоугольном треугольнике, если известны все стороны | Вопрос и Ответ
Тригонометрия — это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции, их свойства, взаимосвязи и применение. Слово «тригонометрия» образовано от
Как найти человека по номеру сотового телефона | Вопрос и Ответ
У каждого из операторов есть сервис, с помощью которого можно найти человека по номеру мобильного телефона, но для этого необходимо разрешение от владельца телефона. Этот сервис предлагается,