Тождественность в математике является частным случаем общего философского понятия тождественности.
Тождественным оборажением называется функция, которая любому значению своего аргумента ставит в соответствие это же самое значение (отображает на себя).
Тождественными выражениями называют алгебраические выражения, которые при любых значениях входящих в них переменных приобретают одинаковое значение. Например, тождественны выражения x·x и x2, т.к. они равны между собой при любых значениях x. Соответственно, тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных: x·x = x2.
Когда надо подчеркнуть тождественность выражений в отличие от их равенства, используется математический знак «тождественно равно»: ≡.
Тождественным преобразованием в алгебре называется любая замена алгебраического выражения другим тождественным выражением. Значения получаемых при тождественных преобразованиях выражений совпадают при всех значениях входящих в них переменных, однако алгебраическая форма записи выражений может значительно различаться. Целью тождественных преобразований обычно является приведение выражения к такой форме, в которой упрощается решение поставленной задачи.
Например, если стоит задача узнать, при каких значениях x выраженние x2 − 2x + 1 обращается в нуль, достаточно заметить, что данное выражение тождественно (x − 1)2. Сразу становится ясно, что ответ будет x=1, что было совершенно неочевидно в исходной записи.
Важно знать, что тождественное преобразование должно сохранять не только значение выражения при любом значении переменных, но и его область определения. Например, часто применяемая операция сокращения алгебраической дроби несет опасность изменения области определения, если сокращаемое подвыражение при некоторых значениях переменных обращается в нуль. Например:
(x2 + 2x + 1) / (x − 1) ≡ ( x + 1) ( x − 1) / (x − 1).
Кажется, что теперь можно сократить дробь на (x − 1):
( x + 1) ( x − 1) / (x − 1) => (x + 1),
но такое преобразование не будет тождественным. Дело в том, что подвыражение (x − 1) обращается в нуль при x=1. При этом эначении x исходное выражение не имеет смысла, т.е. точка x=1 не входит в область определения исходного выражения. Между тем, результирующее выражение (x + 1) такого ограничения не содержит. И хотя при всех остальных значениях x исходное и результирующее выражения совпадают, они не тождественны, так как различаются в одной точке: при x=1 исодное выражение не определено, а результирующее равно 2. Чтобы последнее преобразование было тождественным, необходимо добавить к результирующему выражению ограничение:
(x2 + 2x + 1) / (x − 1) ≡ (x + 1), x≠1.
Что такое конопля | Вопрос и Ответ
Внимание! Выращивание, распространение и переработка конопли является уголовно наказуемым деянием. Конопля (лат. Cánnabis) — род однолетних лубоволокнистых растений семейства
Что такое сплаттерпанк | Вопрос и Ответ
Сплаттерпанк (англ. Splatterpunk) — литературно-кинематографический жанр на грани «фэнтези» и ужасов (разновидность таймпанка), появившийся в середине 1980-х. Родоначальником
Что такое трест | Вопрос и Ответ
Трест — форма монополистического объединения, при которой все объединяющиеся предприятия теряют коммерческую и производственную самостоятельность, подчиняясь единому управлению. Поскольку
Что такое вулкан | Вопрос и Ответ
Вулканы — геологические образования на поверхности земной коры, извергающие на поверхность лаву, вулканические газы, камни (вулканические бомбы), пирокластические потоки.Слово
Что такое пожар | Вопрос и Ответ
Пожар — это неконтролируемое горение, причиняющее материальный ущерб, вред жизни и здоровью граждан, интересам общества и государства. Опасные факторы пожара К опасным
Что такое материнская плата | Вопрос и Ответ
Материнская плата (системная плата) — печатная плата с набором чипов, на которой осуществляется монтаж большинства компонентов компьютерной системы посредством различных разъёмов. Название
Что такое основные топографические планы | Вопрос и Ответ
Топографический план — картографическое изображение на плоскости в ортогональной проекции в крупном масштабе ограниченного участка местности, в пределах которого кривизна уровенной
Что такое Международный день секретаря | Вопрос и Ответ
Международный день секретаря (Secretarys Day) или в более официальном варианте День профессиональных административных работников (Administrative Professionals Day) начали отмечать в США в 1952
Что такое нирвана | Вопрос и Ответ
Нирвана (санскр. — угасание, прекращение, исчезновение) — в дхармических религиях: конечная цель религиозной практики, освобождение от страданий; свобода от желаний и других
Что такое китайский окунь (ауха) | Вопрос и Ответ
Китайский окунь, также ауха, мандаринка (лат. Siniperca chuatsi) — пресноводная рыба семейства перцихтовые. Единственный вид рода аухи, или китайские окуни (Siniperca Gill, 1863)