Как найти стороны прямоугольного треугольника по катету и острому углу

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Если все длины всех сторон прямоугольного треугольника известны, то его периметр P вычисляется по формуле:

P = a + b + с.

Таким образом, задача нахождения периметра сводится определению длины всех сторон треугольника. Эта задача решается по-разному, в зависимости от того, какие параметры прямоугольного треугольника известны.

По двум сторонам

Если известны две из трех строн прямоугольного треугольника, то третью сторону можно вычислить с помощью теоремы Пифагора. Если известны длины катетов (сторон, прилежащие к прямому углу), то длина третьей стороны (гипотенузы) вычисляется по формуле:

c = √(a2 + b2),

где a и b — катеты, а c — гипотенуза. Если же известна длина гипотенузы и одного из катетов, то второй катет можно найти по формуле:

a = √(c2 – b2).

Теперь периметр P прямоугольного треугольника вычисляется по формулам:

P = a + b + √(a2 + b2) = √(c2 – b2) + b + с.

По гипотенузе и углу

Если известна гипотенуза c и один из острых углов α, вычислить два катета можно по формулам:

a = с sin α,

b = с cos α.

Подставив эти выражения в формулу для периметра, получаем:

P = a + b + с = с sin α + с cos α + с = с (sin α + cos α + 1).

По катету и противолежащему углу

Если задан катет a и противолежащий ему острый угол α, то сначала надо вычислить другой катет b и гипотенузу с по формулам:

b = a/tg α,

c = a/sin α.

Затем пеример P вычисляется по формуле:

P = a + b + с = a + a/tg α + a/sin α = a (1 + 1/tg α + 1/sin α).

По катету и прилежащему углу

Если известен катет a и прилежащий в нему острый угол β, то надо учесть, что в прямогульном треугольнике сумма острых углов составляет 90°:

α + β = 90° => α = 90° – β,

и воспользоваться тригонометрическими формулами приведения

sin α = sin(90° – β) = cos β,

tg α = tg(90° – β) = ctg β = 1/tg β.

Подставив эти выражения в предыдущую формулу для периметра, получаем:

P = a (1 + 1/сtg β + 1/cos β) = a (1 + tg β + 1/cos β).