Какая история уточнения знаков числа Пи

Число пи — математическая константа, равная отношению длины окружности к ее диаметру. Число пи является иррациональным и трансцендентным, цифровое представление которого является бесконечной непериодической десятичной дробью — 3,141592653589793238462643... и так до бесконечности.

• 100 знаков после запятой: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

• 1452717 знаков после запятой

История уточнения значения числа пи

В каждой книге по занимательной математике вы непременно найдете историю уточнения значения числа пи. Сначала, в древних Китае, Египте, Вавилоне и Греции для расчетов использовали дроби, например, 22/7 или 49/16. В Средние века и эпоху Возрождения европейские, индийские и арабские математики уточнили значение пи до 40 знаков после десятичной точки, а к началу компьютерной эпохи усилиями многих энтузиастов количество знаков было доведено до 500.

Такая точность имеет чисто академический интерес (об этом ниже), а для практических нужд в пределах Земли достаточно 10 знаков после запятой. При радиусе Земли 6400 км или 6,4·109 мм, получится, что, отбросив двенадцатую цифру пи после запятой, мы при вычислении длины меридиана, ошибемся на несколько миллиметров. А при расчете длины земной орбиты вокруг Солнца (ее радиус 150 млн км = 1,5·1014 мм) для такой же точности достаточно использовать число пи с четырнадцатью знаками после запятой. Среднее расстояние от Солнца до Плутона — самой далекой планеты Солнечной системы — в 40 раз больше среднего расстояния от Земли до Солнца. Для вычисления длины орбиты Плутона с ошибкой в несколько миллиметров достаточно шестнадцати знаков пи. Да что уж там мелочиться, диаметр нашей Галактики около 100 тыс. световых лет (1 световой год примерно равен 1013 км) или 1019 мм, а ведь еще в XVII веке были получены 35 знаков пи, избыточные даже для таких расстояний.

В чем же сложность вычисления значения числа пи? Дело в том, что оно не только иррациональное, то есть, его нельзя выразить в виде дроби p/q, где p и q целые числа. Такие числа нельзя записать точно, их можно вычислять только методом последовательных приближений, увеличивая число шагов для получения большей точности. Самый простой путь — рассматривать вписанные в окружность правильные многоугольники со все возрастающим числом сторон и вычислять отношение периметра многоугольника к его диаметру. С ростом числа сторон, это отношение стремиться к числу пи. Именно так в 1593 году Адриан ван Ромен вычислил периметр вписанного правильного многоугольника с 1073741824 (т.е. 230) сторонами и определил 15 знаков пи. В 1596 году Лудольф ван Цейлен получил 20 знаков, рассчитав вписанный многоугольник с 60·233 сторонами. Впоследствии он довел вычисления до 35 знаков.

Другой путь вычисления пи — использование формул с бесконечным числом членов. Например:

π = 2 · 2/1 · (2/3 · 4/3) · (4/5 · 6/5) · (6/7 · 8/7) · ...

π = 4 · (1/1 – 1/3) + (1/5 – 1/7) +(1/9 – 1/11) + ...

Подобные формулы можно получить, раскладывая, например, арктангенс в ряд Маклорена, зная, что

arctg(1) = π/4 (поскольку что tg(45°) = 1)

или раскладывая в ряд арксинус, зная, что

arcsin(1/2) = π/6 (катет, лежащий против угла в 30°).

В современных расчетах применяются еще более эффективные методы. С их помощью на сегодня определено более триллиона знаков числа пи.

День числа пи

День числа пи отмечается некоторыми математиками 14 марта в 1:59 (в американской системе записи дат — 3/14; первые разряды числа π = 3,14159). Обычно празднуют в 1:59 дня (в 12-часовой системе), но придерживающиеся 24-часовой системы света времени считают, что это 13:59, и предпочитают отмечать ночью. В это время читают хвалебные речи в честь числа пи, его роли в жизни человечества, рисуют антиутопические картины мира без пи, едят пи-рог (pie), пьют напитки и играют в игры, начинающиеся на «пи».

14 марта, в день числа пи, родился Альберт Эйнштейн.

Отмечают также день приближённого значения пи — 22 июля (22/7).