Пусть задана любая матрица А с m строк и n столбцов. Рангом системы строк (столбцов) матрицы А называется максимальное число линейно независимых строк(столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно-независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов и это число называется рангом матрицы.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк (или столбцов) матрицы.
Обычно ранг матрицы A обозначается rang A (rg A) или rank A. Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.
Вычисление ранга матрицы
Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Свойства
Теорема (о базисном миноре): Пусть r = rang A M — базисный минор матрицы A, тогда:
Следствия:
Теорема Кронекера — Капелли: система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
Какими свойствами обладает индийский морской рис | Вопрос и Ответ
Индийский гриб является самым полезным среди всех известных питьевых грибов. Иначе его называют индийский морской рис — он похож на полупрозрачные зернышки риса или на льдинки. Морской рис
Какими свойствами обладает изумруд | Вопрос и Ответ
Вместе с алмазами, рубинами и сапфирами изумруды относятся к драгоценным камням первого порядка. При этом стоит помнить, что изумруды являются ярко-зелеными прозрачными бериллами. Характерный зеленый
Какими свойствами обладает фундук | Вопрос и Ответ
Полезные свойства фундука Плод ломбардского ореха содержит примерно 60% масла, состоящего из органических кислот. Также в нем до 20% белка, есть витамины В и Е, минеральные вещества –
Какими свойствами обладает бирюза | Вопрос и Ответ
Название этого древнего минерала происходит от персидского слова «фируза», что означает «камень счастья». По другой версии наименование камня произошло от персидского слова
Какими свойствами обладает сердолик | Вопрос и Ответ
Сердолик – разновидность халцедона – скрытокристаллическая разновидность двуокиси кремния. Название камня происходит от греческого слова sardolith, что означает «камень из
Какими свойствами обладает кварц | Вопрос и Ответ
Кварц – один из самых распространенных минералов на нашей планете. С химической точки зрения он представляет собой двуокись кремнезема. Иными словами, обычные полупрозрачные песчинки и
Какими свойствами обладает полиуретан | Вопрос и Ответ
Полиуретан - это уникальный синтетический полимерный материал. Впервые Байер Отто Георг Вильгельм с сотрудниками получил полиуретаны и наладил их промышленное производство в 1937 году.
Какими свойствами обладает подорожник | Вопрос и Ответ
По мнению ряда ученых, самые лучшие средства — это те, которые основаны на натуральных экстрактах продуктов. В частности, к ним относят: Масло чайного дерева; Экстракт
Какими свойстами обладает параллелограмм | Вопрос и Ответ
Параллелограмм (от греч. parallelos — параллельный и gramme — линия) — это четырёхугольник (ABCD), у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на
Какими свойствами обладает масло чайного дерева | Вопрос и Ответ
По мнению ряда ученых, самые лучшие средства — это те, которые основаны на натуральных экстрактах продуктов. В частности, к ним относят: Масло чайного дерева; Экстракт