Что такое производная функции

Производная функции — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци?рованием.

Производной в определенной точке неизвестного интервала является максимальное или минимальное значение, к которому стремится отношение приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, в случае если значение последнего стремится к нулю.

В математике изменения функций изучаются в соответствии с производной или переменной. Производные являются основой для решения задач, связанных с вычислением или решением дифференциальных уравнений.

Производная как математический феномен берет свое начало с осуществления попыток построения касательной линии к кривой, определение скорости неравномерного движения, нахождение площади криволинейного геометрического тела. Теоретическое оформление математического феномена производной нашло свое проявление в трудах таких великих ученых, как Исаак Ньютон, Вильгельм Лейбниц. В своих работах они отразили сущность математических действий интегрирования и дифференцирования функций. Феномен производной является широко используемым в рамках осуществления математического анализа, в основе которого, в свою очередь, лежит понятие предела, то есть определение максимального и минимального значений функций. Впервые такие математические термины были использованы французским ученым Остеаном Луи Коши.

В геометрическом контексте, производная функции может быть интерпретирована как угловой коэффициент графика функции или, выражаясь более точно, угловой коэффициент касательной линии в определенной точке. Фактически же, производная представляет собой вычисления, полученные из формулы тангенса угла наклона для прямой линии. В качестве особенности можно назвать тот факт, что переход к пределу может быть осуществим только по отношению к кривой.

Определение геометрического значения производной производится в соответствии с построением касательной линии к графику конкретной функции. Проведение такой математической операции спровоцировало разработку и развитие дифференциального вычисления. Геометрический смысл производной зависит также и от определения угла наклона касательной к кривой. Если провести касательную к определенному графику, например, в точке х, то сама функция окажется близкой к линейной с угловым коэффициентом.

С точки зрения физики, производная представляет собой мгновенную скорость определенной перемещающейся точки при движении по прямой, в частности. Если давать общую характеристику, то в данном контексте под производной понимается тривиальная скорость движения.

Феномен производной

Если рассматривать феномен производной в рамках практического значения, то она представляется самой функцией со специфическими свойствами возрастания и убывания.

Как правило, на всех функциях элементарного характера можно определить производную, в результате чего, такая функция будет считаться дифференцируемой. Необходимо отметить, что в математической практике существуют и недифференцируемые функции, в основном они представляют собой кривую линию, которая образует угол, где модуль графика функции равен нулю.

В математике возможно не только определение производной функции с помощью графического изображения, что носит название дифференциации, но и построение графика оригинальной функции, используя график ее производной. Этот процесс, обратный дифференциации, называется интегрированием функции.

Понятие производной применяется не только в математических отраслях, но и в других научных и технологических направлениях, например, в физике элементарных частиц и квантовой механике.