Является ли ноль натуральным числом

Натуральными называют числа, используемые при счете (нумерации, перечислении) предметов. То есть, это целые положительные числа. Отрицательные и нецелые числа — к натуральным не относятся.

Натуральный ряд чисел конструируется на основе начального натурального числа, называемого единицей (обозначение 1) и операции перехода к следующему. Эта операция применима к любому натуральному числу, а ее результат считается натуральным числом, следующим за исходным.

Для любого натурального числа существует только одно следующее. Единица является наименьшим натуральным числом, поскольку нет такого натурального числа, для которого она была бы следующим. Наибольшего натурального числа не существует, поскольку для любого натурального числа можно построить следующее. Формально структура множества натуральных чисел задается пятью аксиомами Пеано.

Между математиками есть расхождение по вопросу о том, какое число считать наименьшим в натуральном ряду. Во французской традиции, восходящей к работам Н.Бурбаки, в отличие от других математических школ натуральными принято считать числа, выражающие количество предметов в группе. Поэтому в этой традиции наименьшим натуральным числом считается ноль (0), а не единица, и, соотвественно, французские математики, в отличие от других, признают ноль натуральным числом. Такой подход мотивирован также теоретико-множественной моделью натурального ряда, в которой ноль отождествляется с пустым множеством (Ø), а операция перехода к следующему — с образованием множества, состоящего из всех предшествующих натуральных чисел (представленных множествами):

0 ≡ Ø

1 ≡ {Ø}

2 ≡ {Ø, {Ø}}

3 ≡ {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}

4 ≡ {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}}

и т.д.

Следует отметить, что при таком построении каждое натуральное число совпадает с мощностью соответствующего ему множества.

Порядок. На множестве натуральных чисел определено отношение порядка «меньше», обозначаемое символом «<». Натуральные числа M и N связаны отношением «меньше» (M<N) если (возможно многократно) применяя к числу M операцию перехода к следующему, можно получить число N.

Сложение. На основе операции перехода к следующему определяется операция сложения, обозначаемая символом «+». Суммой M+N двух натуральных чисел M и N называется число K, получаемое из числа M в результате N-кратного применения операции перехода к следующему. Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.

Вычитание. На основе операции сложения определяется операция вычитания, обозначаемая символом «–». Разностью M–N называется такое число K, которое при прибавлении к N дает M. Разность существует не для любых натуральных чисел M и N, а только для таких, которые связаны отношением «меньше»: N<M.

Умножение. На основе операции сложения на множестве натуральных чисел вводится операция умножения, обозначаемая символом «·». Произведением M·N двух натуральных чисел M и N называется число K, получаемое из числа M в результате (N–1)-кратного прибавления к нему числа M. Произведение любых двух натуральных чисел является натуральным числом.

Деление. На основе операции умножения определяется операция деления, обозначаемая символом «/». Частным M/N двух натуральных чисел M и N называется такое число K, которое при умножении на N дает M. Далеко не для любой пары натуральных чисел существует натуральное частное. В тех случаях, когда оно существует, говорят, что два натуральных числа делятся друг на друга.