Какие известны рациональные приближения к значению квадратного корня из двух

Квадратный корень из двух (√2) — положительное действительное число, при умножении само на себя даёт число 2.

√2 — первое открытое иррациональное число, то есть, такое число, которое нельзя записать в виде простой дроби, числитель и знаменатель которой представлены целыми числами. Иррациональность √2 первыми обнаружили пифагорейцы, когда доказали несоизмеримость квадрата и его диагонали.

Десятичная запись корня из двух

В десятичной системе счисления √2 записывается бесконечной непериодической дробью. Вот его приблизительное значение с 65 знаками после запятой:

√2 = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799...

Мнемнические правила для запоминания значения квадратного корня из двух:

• Я Катя, я дура, но я вот нашла корень из двух.
• I wish I knew // The root of two.

Цифрам десятичной записи сичла соответствует количество букв в словах.

Рациональные приближения к корню из двух

• 3/2 = 1,5
• 17/12 = 1,41(6) — в скобках указаны бесконечно периодически повторяющиеся цифры
• 99/70 = 1,4(142857) — погрешность не превышает 1/10000, несмотря на небольшой знаменатель
• 577/408 = 1,414(2156862745098039) — известно из древнеиндийского математического текста, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.)
• 305470/216000 = 1,41421(296) — известно из вавилонской глиняной таблички (ок. 1800—1600 до н. э.)
• 665857/470832 = 1,41421356237468991...

Рекорды вычисления корня из двух

• В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой.
• В феврале 2007 Шигеру Кондо вычислил 200 000 000 000 десятичных знаков после запятой. Для этого был использован персональный компьютер с процессором 3,6 ГГц и с 16 Гбайт ОЗУ. Расчет занял 13 дней и 14 часов.

Среди математических констант только число пи было вычислено более точно.

Интересные свойства квадратного корня из двух

• 1/(√2 – 1) = √2 + 1 – так называемое серебряное сечение
• √2 = 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + ... ))) – представление √2 в виде непрерывной дроби
• √(2 + √(2 + √(2 + ...))) = 2
• √2^(√2^(√2^(√2^...))) = 2 — бесконечная тетрация √2 равна 2 (^ — знак возведения в степень).