Какие свойства имеет определитель матрицы

Свойства определителя матрицы следующие:

Свойство 1.

Если каждую строку заменить столбцом с тем же номером, величина определителя не изменится.

Пример 1.

Величина определителя матрицы

5

10

-6

7

0

2

9

4

13

равна D= – 938.

Здесь:

• первая строка: 5, 10, -6,
• вторая строка: 7, 0, 2;
• третья строка: 9, 4, 13.
• первый столбец: 5, 7, 9;
• второй столбец: 10, 0, 4;
• третий столбец: -6, 2, 13.

Последовательно производится замена:

- элементы первой строки матрицы записываются в первом столбце:

5

10

-6

- элементы второй строки записываются во втором столбце:

5

7

10

0

-6

2

- элементы третьей строки записываются в третьем столбце:

5

7

9

10

0

4

-6

2

13

Величина определителя матрицы

5

7

9

10

0

4

-6

2

13

так же равна D= — 938.

Свойство 2.

Если поменять местами какие-либо две строки (или два столбца) определителя, то определитель поменяет знак.

Пример 2.

Если в рассмотренном в примере 1 определителе (D= – 938) поменять местами первую и третью строки, то определитель принимает вид

9

4

13

7

0

2

5

10

-6

Его величина равна 938. Как видно, знак изменился на противоположный.

А если в рассмотренном в примере 1 определителе поменять местами первый и второй столбец, то определитель принимает вид

10

5

-6

0

7

2

4

9

13

И его величина так же равна 938.

Как видно, и в этом случае знак изменился на противоположный.

Свойство 3.

Общий множитель, содержащийся во всех элементах строки (столбца), можно вынести за знак определителя.

Это свойство определителя очень помогает на практике при вычислении значения определителя, т.к. позволяет оперировать с меньшими числами, что сокращает трудоемкость вычислений.

Пример 3.

В определителе матрицы A

2

3

-180

11

-1

4

10

30

900

-80

40

-60

-1

5

0

8

7

5

0

-7

-270

5

2

-1

9

6

180

4

1

3

-360

180

32400

450

-540

-450

все элементы второй строки можно представить в виде произведений, одним из множителей в которых будет число 10 (т.е. все элементы второй строки имеют общий делитель 10), а все элементы третьего столбца имеют общий делитель 90:

2

3

90*(-2)

11

-1

4

10*1

10*3

90*10

10*(-8)

10*4

10*(-6)

-1

5

90*0

8

7

5

0

-7

90*(-3)

5

2

-1

9

6

90*2

4

1

3

-360

180

90*360

450

-540

-450

Также все элементы шестой строки можно представить в виде произведений, одним из множителей в которых будет число 90.

2

3

90*(-2)

11

-1

4

10*1

10*3

90*10*1

10*(-8)

10*4

10*(-6)

-1

5

90*0

8

7

5

0

-7

90*(-3)

5

2

-1

9

6

90*2

4

1

3

90*(-4)

90*2

90*90*4

90*5

90*(-6)

90*(-5)

Общие множители выносятся за знак определителя:

2

3

-2

11

-1

4

1

3

1

-8

4

-6

10*90*90*

-1

5

0

8

7

5

0

-7

-3

5

2

-1

9

6

2

4

1

3

-4

2

4

5

-6

-5

Вычисление такого определителя менее трудоёмко. Простые действия позволили вынести за знак определителя 10*90*90 = 81000.

Свойство 4.

Определитель равен нулю, если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю.

Свойство 5.

Определитель с двумя одинаковыми столбцами (или строками) равен нулю.

Свойство 6.

Если элементы некоторого ряда определителя представляют сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей: в одном вместо каждой суммы будет стоять только первое слагаемое, в другом – только второе (остальные элементы в обоих определителях останутся теми же, что и в данном).

Пример 4.

В определителе матрицы B

3

17

10

-6

8

4

11

-25

20

-10

10

15

13

11

16

-20

-25

-24

-28

-18

9

2

5

-7

6

(его величина равна |B| = -1430350)

элементы четвертой строки можно представить в виде сумм:

3

17

10

-6

8

4

11

-25

20

-10

10

15

13

11

16

-20+0

-20+(-5)

-20+(-4)

-20+(-8)

-20+2

9

2

5

-7

6

А значит, и сам определитель можно представить в виде суммы определителей:

3

17

10

-6

8

3

17

10

-6

8

4

11

-25

20

-10

4

11

-25

20

-10

10

15

13

11

16

+

10

15

13

11

16

0

-5

-4

-8

2

-20

-20

-20

-20

-20

9

2

5

-7

6

9

2

5

-7

6

Как видно, в четвертой строке второго определителя имеется общий множитель. Его нужно вынести за знак определителя, чтобы уменьшить трудоёмкость вычислений:

3

17

10

-6

8

3

17

10

-6

8

4

11

-25

20

-10

4

11

-25

20

-10

10

15

13

11

16

+(-20)*

10

15

13

11

16

0

-5

-4

-8

2

1

1

1

1

1

9

2

5

-7

6

9

2

5

-7

6

В результате вычислений получается:

-690310 + (-20)* 37002 = -1430350

Однако, трудоемкость вычислений можно было упростить ещё, если заметить, что элементы третьей строки второго определителя так же можно представить в виде сумм:

3

17

10

-6

8

4

11

-25

20

-10

10+0

10+5

10+3

10+1

10+6

1

1

1

1

1

9

2

5

-7

6

а значит, что и сам определитель можно представить в виде суммы

3

17

10

-6

8

3

17

10

-6

8

4

11

-25

20

-10

4

11

-25

20

-10

0

5

3

1

6

+

10

10

10

10

10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

9

2

5

-7

6

9

2

5

-7

6

Общий множитель (10) элементов третьей строки второго определителя выносится:

3

17

10

-6

8

3

17

10

-6

8

4

11

-25

20

-10

4

11

-25

20

-10

0

5

3

1

6

+10*

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

9

2

5

-7

6

9

2

5

-7

6

В результате вычислений получается:

37002+10*0 = 37002

Свойство 7.

Величина определителя не изменится, если к элементам одного ряда прибавить элементы другого ряда, умноженные на одно и то же число.

В рассмотренном выше Примере 4 имеется определитель

3

17

10

-6

8

4

11

-25

20

-10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

9

2

5

-7

6

Если ко всем элементам третьего ряда прибавить элементы четвертого ряда, умноженные на «-1», то все элементы третьего ряда будут равны нулю. И, следовательно, сам определитель также будет равен нулю (что и было показано в Примере 4).