Каково условие компланарности векторов

Коллинеарные векторы

Коллинеарными называются векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой).

Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (равнонаправленные векторы) или противоположные направления.

Два ненулевых вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными.

Условие коллинеарности векторов

Если векторы a(x1,y1,z1) и b(x2,y2,z2) коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны:

x2/x1 = y2/y1 = z2/z1

И обратно: если соответствующие координаты векторов пропорциональны, то векторы эти — коллинеарны.

Если коэффициент пропорциональности λ = x2/x1 = y2/y1 = z2/z1 положителен, то векторы a и b равнонаправлены, а если отрицателен — то противоположно направлены.

Например:

• векторы АВ(3, 5, 8) и CD(6, 10, 16) коллинеарны;
• векторы АВ(-12, -8, -22) и CD(6, 4, 11) коллинеарны;
• векторы АВ(-10, -8, -21) и CD(6, 5, 11) не коллинеарны

Компланарные векторы

Три вектора (или большее их число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.

Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора также считаются компланарными.

Компланарность векторов, доказательство их компланарности

Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов a, b, c является равенство нулю их смешанного произведения.

Например:

• векторы AB(2, 1, 3), CD(-2, 8, 12), EF(3, 15, 27) компланарны;
• векторы AB(-4, 2, -6), CD(-1, -4, 6), EF(-2, 10, -18) компланарны.

Смешанное произведение векторов

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трёх векторов a, b, c называется скалярное произведение вектора а на векторное произведение b×c, т.е. число а(b×c), или, что то же, (b×c)а.

Для того, чтобы найти смешанное произведение трёх векторов a, b и c, заданных своими координатами a(ax,ay,az), b(bx,by,bz), c(cx,cy,cz), нужно определенным образом составить определитель третьего порядка. В первой строке определителя записываем координаты первого вектора, во второй строке — второго, в третьей — третьего:

ax ay az

bx by bz

cx cy cz

и вычисляем определитель. Результат вычислений и есть искомое смешанное произведение трёх векторов.

Например, смешанное произведение векторов a(-2, 5, -3), b(1, -4, 6), c(1, 5, 9) равно 90.

Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, взятому со знаком «плюс», если система a, b, c — правая, и со знаком «минус», если эта система левая.

Иногда вопрос задают так: «Чему равен объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c?». Как уже известно, равен он смешанному произведению векторов a, b и c. Если результат окажется со знаком «минус», то результат, конечно же, нужно взять по модулю.

Например, объём параллелепипеда, построенного на векторах a(-2, 5, -3), b(1, -4, 6), c(1, 5, 9), равен 90 кубических единиц.

Объём пирамиды, построенной на векторах

Объём пирамиды, построенной на векторах a, b и c, равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c.

Если известны координаты вершин A, B, C, D пирамиды, то последовательность действий для нахождения её объёма следующая:

• находим координаты векторов AB, AC и AD;
• находим 1/6 смешанного произведения векторов AB, AC и AD (результат вычислений берём со знаком «плюс»).

Например, даны вершины пирамиды ABCD:

• A(5, 0, 14);
• B(-7, 16, 9);
• C(14, -5, 17);
• D(15, 11, -2).

Находим координаты векторов AB, AC и AD:

• AB = (-7-5, 16-0, 9-14) = (-12, 16, -5);
• AC = (14-5, -5-0, 17-14) = (9, -5, 3);
• AD = (15-5, 11-0, -2-14) = (10, 11, -16).

Вычисляем 1/6 смешанного произведения векторов AB, AC и AD.

V = 1/6 · 1475 = 245,83 кубических единиц.