Какой величины углы правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник или пентагон (англ. regular pentagon) — это пятиугольник, все стороны и все углы которого равны между собой.

Формулы для правильного пятиугольника:

• Величина α внутренних углов правильного пятиугольника (n=5) составляет: α = (n – 2)/n · 180° = (3/5) · 180° = 108°.
• Площадь правильного пятиугольника со стороной a рассчитывается по формуле: S = (5/4) a2 ctg(π/5) = (1/4) √5 √(5 + 2√5) a2 ≈ 1,720 a2.
• Площадь правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса R рассчитывается по формуле: S = (5/2) R2 sin(2π/5) = (5√2/8) √(5 + √5) R2 ≈ 2,378 R2.
• Площадь правильного пятиугольника, описанного вокруг окружности радиуса r рассчитывается по формуле:S = 5 r2 tg(π/5) = 5 √(5 – 2√5) r2 ≈ 3,633 r2.
• Высота правильного пятиугольника со стороной a составляет:h = (1/2) a tg 72° = (1/2) √(5 + 2√5) a2 = 1,539 a.
• Отношение диагонали d правильного пятиугольника к его стороне a равно золотому сечению:d/a = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618.
• Радиус r окружности, вписанной в правильный пятиугольник со стороной a составляет:r = (1/10) √5 √(5 + 2√5) a ≈ 0,688 a.
• Радиус R окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника со стороной a составляет: R = (1/10) √10 √(5 + √5) a ≈ 0,851 a.
• Радиус R окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника, можно найти по радиусу r вписанной в него окружности по формуле:
• R = (√5 – 1) r ≈ 1,236 r.

Факты о правильном пятиугольнике:

• Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Впервые это построение описал Евклид в своих «Началах» около 300 года до н.э.
• Все диагонали правильного пятиугольника равны между собой. Вместе они образуют пятиконечную звезду, называемую также пентаграммой. Отношение длины диагонали к длине стороны правильного пятиугольника равно золотому сечению.
• Правильными пятиугольниками нельзя замостить плоскость без промежутков и наложений. Это наименьший по числу сторон правильный многоугольник, который обладает таким свойством.
• Додекаэдр — единственный правильный многогранник, грани которого представляют собой правильные пятиугольники. Правильный пятиугольник — наибольший по числу сторон правильный многоугольник, из которых можно собрать правильный многогранник.
• В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника. Однако, при формировании водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K на поверхности сначала возникают цепочки молекул шириной около 1 нм пентагональной структуры.
• Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги, а затем сплющив узел.
• Пентагоном называют министерство обороны США, поскольку оно размещается в здании, имеющем в плане форму правильного пятиугольника (пентагона).