Сколько существует правильных многогранников

Определение: Правильными называют выпуклые многогранники, все грани которых представляют собой одинаковые правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое количество граней. Такие многогранники называют также платоновыми телами.

Другое эквивалентное определение: многогранник называется правильным, если все его грани — равные между собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит одинаковое число ребер и все двугранные углы равны. (По сравнению с первым определением здесь вместо выпуклости требуется равенство всех двугранных углов.)

Существует ровно пять правильных многогранников:

• Тетраэдр (правильная пирамида) — состоит из 4 равносторонних треугольников.
• Октаэдр — состоит из 8 равносторонних треугольников, сходящихся по 4 в каждой вершине.
• Гексаэдр (куб) — состоит из 6 квадратов.
• Додекаэдр — состоит из 12 правильных пятиугольников.
• Икосаэдр — состоит из 20 равносторонних треугольников, сходящихся по 5 в каждой вершине.

Других правильных многогранников не существует. Это легко понять, если учесть, что в каждой вершине правильного многогранника должно сходиться не менее трех граней и при этом сумма их плоских углов должна быть меньше 360°. У правильных треугольников углы составляют 60°. Это значит, что в вершинах правильных многогранников может сходиться 3, 4 или 5 таких граней, что соответствует тетраэдру, откаэдру и икосаэдру. Квадратов (угол 90°) и пятиугольников (угол 108°) в одной вершине может сходиться только по три, что соответствует гексаэдру и додекаэдру. Одинаковые правильные многоугольники с большим числом углов не могут образовывать трехгранные углы, поскольку сумма углов трех граней получается больше либо равной 360°.

Другие доказательства этого факта:

• Пять пифагоровых тел // Глава из книги Карла Сагана Космос, СПб., Амфора, 2005.
• College.ru.

Во всех случаях доказывается лишь то, что правильных многогранников может быть не больше пяти. Из этих доказательств еще не следует, что хоть один такой многогранник существует. То, что все пять действительно можно построить — замечательный факт, которые проверяется соответствующими геометрическими построениями. На этом факте обычно не акцентируют внимание, так как правильные многогранники были известны с глубокой древности, и никто не сомневался в их существовании.