Существует ли поверхность с одной стороной

Лист Мёбиуса, лента Мёбиуса (Википедия) - топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Рассказывают, что открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Интересные свойства листа Мёбиуса

Лист Мёбиуса - поверхность неориентируемая: если отметить на нём небольшую окружность с фиксированным направлением обхода и двигать её вдоль листа Мёбиуса, не пересекая границы, то можно прийти к начальному положению так, что направление обхода окружности изменится на противоположное.

Еще одно интересное свойство - связность. Если квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. А телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он останется единым целым. Поэтому любой тополог скажет, что квадрат и ромашка – односвязны, кольцо и оправа от очков – друсвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны. А лист Мёбиуса? Конечно двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превраится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота – связность снова равна двум.

И наконец, то, что носит название «хроматический номер». Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе бумаги, даже если его склеить в кольцо, ещё не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырёх. Это и значит что хроматический номер этих поверхностей – четыре. А на бублике число соответствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер листа Мёбиуса? Как ни поразительно - шесть.

Применение листа Мёбиуса в технике

Полоса ленточного конвейера выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

• Методическая разработка урока по геометрии для 6 класса - с помощью этой разработки можно быстро получить представление о свойства листа Мёбиуса, проделав все операции своими руками;
• Элементы топологии на примере листа Мёбиуса - в занимательной форме и понятным языком описываются интересные свойста этой поверхности;
• Ленту (лист) Мёбиуса можно описать одним уравнением - здесь делается попытка получить уравнение листа Мёбиуса и приводится вращающаяся модель этой поверхности;
• Лист Мёбиуса - небольшая заметка;
• lib.ru - А.Дж.Дейч. Лист Мебиуса. Фантастический рассказ о линии метро, которая превращается в ленту Мёбиуса.