Как доказать теорему Пифагора

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.Формулировка теоремы: Во всяком прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.Обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b, получаем следующее равенство:a2 + b2 = c2Таким образом, теорема Пифагора устанавливает соотношение, позволяющее определить сторону прямоугольного треугольника по двум другим. Также верно обратное утверждение (называемое обратной теоремой Пифагора): Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Видеоурок с доказательством теоремы Пифагора.

Доказательство

Известно более ста доказательств теоремы Пифагора. Ниже приведено доказательство основанное на теореме существования площади фигуры:1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на этом рисунке.2. Четырехугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов равна 90°, а развернутый угол — 180°.3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a + b), а с другой стороны сумме площадей четырех прямоугольных треугольников и внутреннего квадрата.(a + b)2 = 4·(ab/2) + c2 (с учетом формулы для площади прямоугольного треугольника)a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2c2 = a2 + b2Что и требовалось доказать.

Обобщения

Для произвольных треугольников верна теорема косинусов, являющаяся обощением теоремы Пифагора:

a2 = b2 + c2 − 2 b c cos α,

где α — угол между сторонами b и c.

В прямоугольной (декартовой) системе координат на плоскости теорема Пифагора позволяет вычислить квадрат расстояния R между двумя точками a и b с известными координатами (x1, y1) и (x2, y2):

R2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

Эта формула допускает обобщение на трехмерное пространство:

R2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2,

а также на n-мерное пространство:

R2 = ∑i=1,...,n(ai − bi)2,

в котором точки a и b имеют соответственно координаты (a1, ..., an) и (b1, ..., bn).